Закон всемирного тяготения математическое выражение формулировка. Аристотель утверждал, что массивные предметы падают на землю быстрее лёгких

Закон всемирного тяготения. Движение тел под действием силы тяжести

Закон всемирного тяготения математическое выражение формулировка. Аристотель утверждал, что массивные предметы падают на землю быстрее лёгких

Исходя из трактовки второго закона Ньютона, можно сделать вывод, что изменение движения происходит посредствам силы. Механика рассматривает силы различной физической природы. Многие из них определяются с помощью действия сил тяготения.

Закон всемирного тяготения. Формулы

В 1862 году был открыт закон всемирного тяготения И. Ньютоном. Он предположил, что силы, удерживающие Луну, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. Смысл гипотезы состоит в наличии действия сил притяжения, направленных по линии и соединяющих центры масс, как изображено на рисунке 1.10.1. Шаровидное тело имеет центр массы, совпадающий с центром шара.

Рисунок 1.10.1. Гравитационные силы притяжения между телами. F1→=-F2→.

Далее, Ньютон искал физическое объяснение законам движения планет, которые открыл И. Кеплер в начале XVII века, и давал количественное выражение для гравитационных сил.

Определение 1

При известных направлениях движений планет Ньютон пытался выяснить, какие силы действуют на них. Этот процесс получил название обратной задачи механики.

Основная задача механики – определение координат тела известной массы с его скоростью в любой момент времени при помощи известных сил, действующих на тело, и заданным условием (прямая задача). Обратная же выполняется с определением действующих сил на тело с известным его направлением. Такие задачи привели ученого к открытию определения закона всемирного тяготения.

Ускорение свободного падения

Определение 2

Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

F=Gm1m2r2.

Значение G определяет коэффициент пропорциональности всех тел в природе, называемое гравитационной постоянной и обозначаемое по формуле G=6,67·10-11 Н·м2/кг2 (СИ).

Большинство явлений в природе объясняются наличием действия силы всемирного тяготения. Движение планет, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все объясняется законом тяготения и динамики.

Определение 3

Проявлении силы тяготения характеризуется наличием силы тяжести. Так называется сила притяжения тел к Земле и вблизи ее поверхности.

Когда М обозначается как масса Земли, RЗ– радиус, m – масса тела, то формула силы тяжести принимает вид:

F=GMRЗ2m=mg.

Где g – ускорение свободного падения, равняющееся g=GMRЗ2.

Сила тяжести направлена к центру Земли, как показано в примере Луна-Земля. При отсутствии действия других сил тело движется с ускорением свободного падения. Его среднее значение равняется 9,81 м/с2. При известном G и радиусе R3=6,38·106 м производятся вычисления массы Земли М по формуле:

M=gR32G=5,98·1024 кг.

Если тело удаляется от поверхности Земли, тогда действие силы тяготения и ускорения свободного падения меняются обратно пропорционально квадрату расстояния r к центру. Рисунок 1.10.2 показывает, как изменяется сила тяготения, действующая на космонавта корабля, при удалении от Земли. Очевидно, что F притягивания его к Земле равняется 700 Н.

Рисунок 1.10.2. Изменение силы тяготения, действующей на космонавта при удалении от Земли.

Пример 1

Земля-Луна подходит в качестве примера взаимодействия системы двух тел.

Расстояние до Луны – rЛ=3,84·106 м. Оно в 60 раз больше радиуса Земли RЗ. Значит, при наличии земного притяжения, ускорение свободного падения αЛ орбиты Луны составит αЛ=gRЗrЛ2=9,81 м/с2602=0,0027 м/с2.

Оно направлено к центру Земли и получило название центростремительного. Расчет производится по формуле aЛ=υ2rЛ=4π2rЛT2=0,0027 м/с2, где Т =27,3 суток – период обращения Луны вокруг Земли. Результаты и расчеты, выполненные разными способами, говорят о том, что Ньютон был прав в своем предположении единой природы силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Луна имеет собственное гравитационное поле, которое определяет ускорение свободного падения gЛ на поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус в 3,7 раза. Отсюда видно, что ускорение gЛ следует определять из выражения:

gЛ=GMЛRЛ2=GMЗ3,72T32=0,17 g=1,66 м/с2.

Такая слабая гравитация характерна для космонавтов, находящихся на Луне. Поэтому можно совершать огромные прыжки и шаги. Прыжок вверх на метр на Земле соответствует семиметровому на Луне.

Искусственные спутники Земли

Движение искусственных спутников зафиксировано за пределами земной атмосферы, поэтому на них оказывают действие силы тяготения Земли.

Траектория космического тела может изменяться в зависимости от начальной скорости.

Движение искусственного спутника по околоземной орбите приближенно принимается  в качестве расстояния до центра Земли, равняющемуся радиусу RЗ. Они летают на высотах 200-300 км. 

Определение 4

Отсюда следует, что центростремительное ускорение спутника, которое сообщается силами тяготения, равняется ускорению свободного падения g. Скорость спутника примет обозначение υ1. Ее называют первой космической скоростью.

Применив кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получаем

an=υ12RЗ=g, υ1=gRЗ=7, 91·103 м/с.

При такой скорости спутник смог облететь Землю за время, равное T1=2πRЗυ1=84 мин 12 с.

Но период обращения спутника по круговой орбите вблизи Земли намного больше, чем указано выше, так как существует различие между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли.

Спутник движется по принципу свободного падения, отдаленно похожее на траекторию снаряда или баллистической ракеты. Разница заключается в большой скорости спутника, причем радиус кривизны его траектории достигает длины радиуса Земли.

Спутники, которые движутся по круговым траекториям на больших расстояниях, имеют ослабленное земное притяжение, обратно пропорциональное квадрату радиуса r траектории. Тогда нахождение скорости спутника следует по условию:

υ2к=gR32r2, υ=gR3RЗr=υ1R3r.

Поэтому, наличие спутников на высоких орбитах говорит о меньшей скорости их движения, чем с околоземной орбиты. Формула периода обращения равняется:

T=2πrυ=2πrυ1rRЗ=2πRзυ1rR33/2=T12πRЗ.

T1 принимает значение периода обращения спутника по околоземной орбите. Т возрастает с размерами радиуса орбиты. Если r имеет значение 6,6 R3 то Т спутника равняется 24 часам.

При его запуске в плоскости экватора, будет наблюдаться, как висит над некоторой точкой земной поверхности. Применение таких спутников известно в системе космической радиосвязи.

Орбиту, имеющую радиус r=6,6 RЗ, называют геостационарной.

Рисунок 1.10.3. Модель движения спутников.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения математическое выражение формулировка. Аристотель утверждал, что массивные предметы падают на землю быстрее лёгких

К началу XVII века гелиоцентрическая система мира была признана большинством ученых. Однако в то время не были понятны причины и законы, по которым планеты движутся.

И. Кеплер обработал результаты множества своих наблюдений и своего коллеги Т. Браге, сформулировал законы перемещения планет вокруг Солнца. Стало понятно, что для объяснения законов Кеплера, следует определить, какие силы действуют на планеты. Но Кеплеру и его современникам не удалось это выполнить. Задачу решил И. Ньютон.

Приблизительно, можно считать, что планеты перемещаются равномерно по орбитам, близким к окружностям. При таком виде движения материальной точки у нее имеется центростремительное ускорение, которое направлено к центру орбиты (для планеты, центростремительной ускорение направлено к Солнцу).

Из второго закона Ньютона следует, что на планету, действует некоторая сила, которая порождает нормальное ускорение. Получается, что Солнце действует на каждую планету с силой, направленной к его центру.

В соответствии с третьим законом Ньютона, планета действует на Солнце с силой, равной по величине предыдущей силе, но имеющей противоположное направление.

Мы знаем, что Луна совершает вращение вокруг Земли. Луна притягивает Землю, Земля притягивает Луну. И. Ньютон предположил, чтосила тяжести, с которой Земля притягивает все тела около своей поверхности, и сила с которой она притягивает Луну, имеют одно происхождение.

Ньютон сравнил ускорение свободного падения ($g=9,81\ \frac{м}{с{2\ }}$ около поверхности Земли) и центростремительное ускорение ($a_n$),которое имеет Луна при движении по своей орбите. Ньютон получил, что нормальное ускорение Луны равно $a_n=2,72\cdot {10}{-3}\frac{м}{с2}$.

Расхождение в величинах Ньютон пояснил тем, что сила тяготения убывает с ростом расстояния между притягивающимися телами. Ускорение, вызванное силой тяготения, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния ($r$) между телами:

\[a_n=\frac{K}{r2}\left(1\right),\]

где $K=const$.

Формулировка закона всемирного тяготения

Анализ нормального ускорения Луны при ее движении около Земли позволили И. Ньютону сделать вывод о том, что все тела в природе притягиваются с некоторыми силами, которые называются силами тяготения.

Допустим, что у нас имеются два тела, массы которых равны $m_1$ и $m_2$. Находятся они на расстоянии $r$ друг от друга. Эти тела взаимодействуют друг с другом с силами:

\[\ F_1=m_1a_1и\ F_2=m_2a_2\left(2\right)\]

По третьему закону Ньютона имеем:

\[\left|F_1\right|=\left|F_2\right|\left(3\right).\]

Принимая во внимание выражение (1), получаем:

\[m_1a_1=m_1\frac{K_1}{r2}=m_2a_2=m_2\frac{K_2}{r2}\ \left(4\right).\]

Выражение (4) будет выполняться, если $K_1=\gamma m_2,$ а $K_2=\gamma m_1,$ где $\gamma $ =const. То есть, мы получили, что:

\[F=m_1a_1=\gamma \frac{m_1m_2}{r2}\left(5\right).\] Формула (5) – математическое выражение закона всемирного тяготения: Сила тяготения между двумя материальными точками прямо пропорциональная их массам и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними.

Для точного расчёта силы взаимного притяжения формула (5) может быть применена только в том случае, если телами являются однородные шары, массы которых равны $m_{1\ }и\ m_2$, а $r$ – расстояние между их центрами.

Гравитационная постоянная

Коэффициент $\gamma $ называют гравитационной постоянной. В Международной системе единиц (система СИ) она равна $\gamma \approx 6,67\cdot {10}{-11}\frac{м3}{с2\cdot кг}.\ $ Гравитационная постоянная численно равна силе взаимодействия материальных точек, имеющих массы по одному килограмму, расположенный на расстоянии в один метр. Гравитационная постоянная находится экспериментально.

Одним из первых эксперимент по измерению силы тяготения в лабораторных условиях поставил Кавендиш. Так была определена гравитационная постоянная.

Примеры задач с решением

Пример

Задание. В чем состоит суть опыта Кавендиша по измерению силы гравитации?

Решение. Сделаем рисунок.

Для проведения эксперимента Кавендиш использовал крутильные весы (рис.1). На тонкой кварцевой нити подвешивался легкий стержень. На нити жестко закреплялось маленькое зеркало. Луч света попадал на зеркало, отражался от него и падал на шкалу. Если стержень поворачивался, то луч перемещался по шкале. Так отмечался угол закручивания нити.

На концах стержня были закреплены два шарика из свинца, каждый массой $m$. К этим шарикам подносили два симметрично расположенных свинцовых шарика массами $M$. Нить закручивалась до момента, когда сила упругости деформированной нити не уравновешивает силу гравитационного взаимодействия между шарами. Сила взаимодействия измерялась по углу закручивания нити.

Зная массы шаров и расстояние между их центрами, вычислялась гравитационная постоянная.

Пример 2

Задание. Два одинаковых однородных железных шара касаются друг друга (рис.2). Радиус каждого шара равен $R=0,1$ м. Какова сила гравитации, действующая между этими шарами?

Решение. Сделаем рисунок.

Основой для решения задачи служит закон всемирного тяготения:

\[F=\gamma \frac{m_1m_2}{r2}\ \left(2.1\right),\]

где $m_1=m_2=m$ – массы каждого из шаров, тогда закон гравитации запишем в виде:

\[F=\gamma \frac{m2}{r2}\left(2.2\right).\]

Расстояние между центрами шаров (рис.2) равно: $r=2R.$ Массы шаров найдем как:

\[m=\rho \frac{4}{3}\pi R3\left(2.3\right).\]

Формулу (2.2) преобразуем так:

\[F=\gamma \frac{{(\rho \frac{4}{3}\pi R3)}2}{{(2R)}2}=\frac{\gamma {\rho }2{\pi }2R4}{9}.\]

Для вычисления силы гравитации, найдем в справочниках плотность железа ($\rho =7800\ \frac{кг}{м3}$). Гравитационная постоянная равна: $\gamma =6,67\cdot {10}{-11}\frac{м3}{с2\cdot кг}.$ Проведем вычисления:

\[F=\frac{4\cdot 6,67\cdot {10}{-11}{(7800\cdot \pi \cdot {\left({10}{-1}\right)}2)}2}{9}=1,78\cdot {10}{-6}\left(Н\right).\]

Ответ. $F=1,78\cdot {10}{-6}$Н

Читать дальше: закон Гука.

Закон всемирного тяготения можно записать в виде. Закон всемирного тяготения формула ньютона

Закон всемирного тяготения математическое выражение формулировка. Аристотель утверждал, что массивные предметы падают на землю быстрее лёгких
Ньютон предположил, что Луну следует рассматривать как снаряд, который движется по искривленной траектории, поскольку на него действует земное тяготение. Поверхность Земли тоже искривлена, так что при достаточно быстром движении снаряда его искривленная траектория будет следовать за кривизной Земли, и он станет «падать» вокруг планеты.

Если увеличить скорость снаряда, его траектория вокруг Земли вытянется в эллипс.

Галилей в начале XVII века показал, что все предметы падают «одинаково». И примерно в то же время Кеплер задумывался, что заставляет планеты двигаться по своим орбитам.

Быть может, это магнетизм? Исаак Ньютон, работая над « », свел все эти движения к действию единой силы, называемой гравитацией, которая подчиняется простым универсальным законам.

Галилей экспериментально показал, что путь, пройденный телом, падающим под действием гравитации, пропорционален квадрату времени падения: шар, падающий в течение двух секунд, пройдет вчетверо больший путь, чем такой же предмет в течение одной секунды.

Также Галилей показал, что скорость прямо пропорциональна времени падения, и вывел отсюда, что пушечное ядро летит по параболической траектории — одному из видов конических сечений, как и эллипсы, по которым, согласно Кеплеру, движутся планеты.

Но откуда эта связь?

Когда в середине 1660-х годов Кембриджский университет закрылся на время Великой эпидемии чумы, Ньютон вернулся в семейную усадьбу и там сформулировал свой закон тяготения, хотя и держал его потом в тайне еще 20 лет. (Историю об упавшем яблоке никто не слыхал, пока восьмидесятилетний Ньютон не рассказал эту байку после большого званого ужина.)

Он предположил, что все предметы во Вселенной порождают гравитационную силу, притягивающую другие объекты (подобно тому, как яблоко притягивается к Земле), и эта самая сила гравитации определяет траектории, по которым движутся в космосе звезды, планеты и другие небесные тела.

На склоне своих дней Исаак Ньютон рассказал, как это произошло: он гулял по яблоневому саду в поместье своих родителей и вдруг увидел луну в дневном небе. И тут же на его глазах с ветки оторвалось и упало на землю яблоко. Поскольку Ньютон в это самое время работал над законами движения, он уже знал, что яблоко упало под воздействием гравитационного поля Земли.

Знал он и о том, что Луна не просто висит в небе, а вращается по орбите вокруг Земли, и, следовательно, на нее воздействует какая-то сила, которая удерживает ее от того, чтобы сорваться с орбиты и улететь по прямой прочь, в открытый космос. Тут ему и пришло в голову, что, возможно, это одна и та же сила заставляет и яблоко падать на землю, и Луну оставаться на околоземной орбите.

Закон обратных квадратов

Ньютон сумел рассчитать величину ускорения Луны под влиянием земной гравитации и нашел, что она в тысячи раз меньше, чем ускорение предметов (того же яблока) вблизи Земли. Как такое может быть, если они движутся под действием одной и той же силы?

Объяснение Ньютона состояло в том, что сила тяготения ослабевает с расстоянием. Объект на поверхности Земли в 60 раз ближе к центру планеты, чем Луна. Притяжение на орбите Луны составляет 1/3600, или 1/602, от того, что действует на яблоко.

Таким образом, сила притяжения между двумя объектами — будь это Земля и яблоко, Земля и Луна или Солнце и комета — обратно пропорциональна квадрату разделяющего их расстояния. Удвойте расстояние, и сила уменьшится вчетверо, утройте его — сила станет меньше в девять раз и т. д.

Сила также зависит от масс объектов — чем больше масса, тем сильнее гравитация.

Закон всемирного тяготения можно записать в виде формулы:
F = G(Mm/r 2)

Где: сила гравитации равна произведению большей массы M и меньшей массы m, деленному на квадрат расстояния между ними r 2 и помноженному на гравитационную постоянную, обозначаемую заглавной буквой G (строчная g обозначает вызванное тяготением ускорение).

Эта постоянная определяет притяжение между любыми двумя массами в любой точке Вселенной. В 1789 году ее использовали для вычисления массы Земли (6·1024 кг). Законы Ньютона замечательно предсказывают силы и движения в системе из двух объектов. Но при добавлении третьего всё значительно усложняется и приводит (спустя 300 лет) к математике хаоса.

Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела. Невесомость

План ответа

1. Силы гравитации. 2. Закон всемирного тяготения. 3. Физический смысл гравитационной по­стоянной. 4. Сила тяжести. 5. Вес тела, перегрузки. 6. Невесомость.

Исаак Ньютон выдвинул предположение, что между любыми телами в природе существуют силы взаимного притяжения. Эти силы называютсилами гравитации, илисилами всемирного тяготения. Сила всемирного тяготения проявляется в Космосе, Солнечной системе и на Земле.

Ньютон обобщил за­коны движения небесных тел и выяснил, что F = G(m 1 *m 2)/R 2, где G – коэффициент пропорциональности, называется гравитационной постоянной.

Чис­ленное значение гравитационной постоянной опытным путем определил Кавендиш, измеряя силу вза­имодействия между свинцовыми шарами.

[attention type=green]
В резуль­тате закон всемирного тяготения звучит так:между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки.
[/attention]

Физический смысл гравитационной постоян­ной вытекает из закона всемирного тяготения. Если m 1 = m 2 = 1 кг, R = 1 м, то G = F, т. е. гравитацион­ная постоянная равна силе, с которой притягиваются два тела по 1 кг на расстоянии 1 м. Численное зна­чение: G = 6,67 10 -11 Н м 2 /кг 2 .

Силы всемирного тя­готения действуют между любыми телами в природе, но ощутимыми они становятся при больших массах (или хотя бы масса одного из тел велика).

Закон же всемирного тяготения выполняется только для мате­риальных точек и шаров (в этом случае за расстоя­ние принимается расстояние между центрами ша­ров).

Частным видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле (или к другой планете). Эту силу называютсилой тяжести. Под действием этой силы все тела приобретают ускорение свободного падения. В соответствии со вторым зако­ном Ньютона g = f т /m,следовательно, f т= mg. Сила тяжести всегда направлена к центру Земли. В зави­симости от высоты h над поверхностью Земли и гео­графической широты положения тела ускорение сво­бодного падения приобретает различные значения. На поверхности Земли и в средних широтах ускоре­ние свободного падения равно 9,831 м/с 2 .

В технике и быту широко используется поня­тие веса тела.Весом тела называют силу, с которой тело давит на опору или подвес в результате грави­тационного притяжения к планете (рис. 5). Вес тела обозначается Р.

Единица измерения веса – 1 Н. Так как вес равен силе, с которой тело действует на опо­ру, то в соответствии с третьим законом Ньютона по величине вес тела равен силе реакции опоры.

Поэтому, чтобы найти вес тела, необходимо найти, чему равна сила реакции опоры.

Рассмотрим случай, когда тело вместе с опорой не движется. В этом случае сила реакции опоры, а следова­тельно, и вес тела равен силе тяжести (рис. 6):р =N = mg.

В случае движения тела вертикально вверх вместе с опорой с ускорением, по второму закону Ньютона, можно записать mg + N = та (рис. 7, а).

В проекции на ось OX: -mg + N = та, отсюда N = m(g + а).

[attention type=yellow]
Следовательно, при движении вертикально вверх с ускорением вес тела увеличивается и нахо­дится по формуле Р = m(g + а).
[/attention]

Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называютперегруз­кой. Действие перегрузки испытывают на себе кос­монавты как при взлете космической ракеты, так и при торможении корабля при входе в плотные слои атмосферы. Испытывают перегрузки и летчики при выполнении фигур высшего пилотажа, и водители автомобилей при резком торможении.

Если тело движется Вниз по вертикали, то с помощью аналогичных рассуждений получаем mg +

+N = та; mg -N = та; N = m(g -а); Р = m(g – а), т. е. вес при движении по вертикали с ускорением будет меньше силы тяжести.

Если тело свободно падает, в этом случае Р = (g – g)m = 0.

Состояние тела, в котором его вес равен нулю, называютневесомостью. Состояние невесомости на­блюдается в самолете или космическом корабле при движении с ускорением свободного падения незави­симо от направления и значения скорости их движе­ния.

За пределами земной атмосферы при выключе­нии реактивных двигателей на космический корабль действует только сила всемирного тяготения.

Под действием этой силы космический корабль и все те­ла, находящиеся в нем, движутся с одинаковым ускорением, поэтому в корабле наблюдается состоя­ние невесомости.

Электрон движения в вакууме со скоростью 3 ×10 6 м/с в однородном магнитном поле с магнитной индукцией 0,1 Тл. Чему равна сила, действующая на электрон, если угол между направлением скорости электрона и линиями индукции равен 90°?

Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона всемирного тяготения. Согласно этому закону сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Здесь – коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной.

Направлена сила вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки (рис. 45.1).

В векторном виде силу, с которой вторая материальная точка притягивает к себе первую, можно записать следующим образом:

Симолом обозначен единичный вектор, имеющий направление от первой материальной точки ко второй (см. рис. 45.1). Заменив в формуле (45.2) вектор вектором получим силу действующую на вторую материальную точку.

[attention type=yellow]
Для определения силы взаимодействия протяженных тел их нужно разбить на элементарные массы каждую из которых можно было бы принять за материальную точку (рис. 45.2). Согласно (45.2) i-я элементарная масса тела 1 притягивается к элементарной массе тела 2 с силой
[/attention]

где расстояние между элементарными массами.

Просуммировав (45.3) по всем значениям индекса k, получим силу, действующую со стороны тела 2 на принадлежащую телу 1 элементарную массу :

Наконец, просуммировав (45.4) по всем значениям индекса i, т. е. сложив силы, приложенные ко всем элементарным массам первого тела, получим силу, с которой тело 2 действует на тело 1:

Суммирование производится по всем значениям индексов i и k. Следовательно, если тело 1 разбить на а тело 2 – на элементарных масс, то сумма (45.5) будет содержать слагаемых.

Практически суммирование (45.5) сводится к интегрированию и является, вообще говоря, очень сложной математической задачей. Если взаимодействующие тела однородны и имеют правильную форму, вычисления сильно упрощаются.

В частности, в случае, когда взаимодействующие тела представляют собой однородные шары, вычисление согласно (45.5) приводит к формуле (45.2), в которой под следует понимать массы шаров, под – расстояние между их центрами и под единичный вектор, имеющий направление от центра первого шара к центру второго.

Таким образом, шары взаимодействуют как материальные точки, имеющие массы, равные массам шаров, и помещенные в их центрах.

Если одно из тел представляет собой однородный шар очень большого радиуса (например земной шар), а второе тело можно рассматривать как материальную точку, то их взаимодействие описывается формулой (45.2), в которой под нужно понимать расстояние от центра шара до материальной точки (это утверждение будет доказано в следующем параграфе).

Размерность гравитационной постоянной в соответствии с (45.1) равна

[attention type=red]
Численное значение у было определено путем измерения силы, с которой притягиваются друг к другу тела известной массы.
[/attention]

При таких измерениях возникают большие трудности, так как для тел, массы которых могут быть непосредственно измерены, сила притяжения оказывается крайне малой.

Так, например, два тела с массой 100 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой порядка , т. е. порядка

Первой успешной попыткой определения V были измерения, осуществленные Кавендишем (1798 г.). Он применил для измерения сил весьма чувствительный метод крутильных весов (рис. 45.3).

Два свинцовых шара (с массой 0,729 кг каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла, помещались вблизи симметрично расположенных шаров М (с массой по 158 кг). Коромысло подвешивалось на упругой нити, по закручиванию которой можно было измерять силу притяжения шаров друг к другу.

Верхний конец нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами и М. Наиболее точным из определенных разными способами считается значение

Если в (45.1) подставить , равные единице, то сила оказывается численно равной . Таким образом, два шара с массой 1 кг каждый, центры которых отстоят друг от друга на 1 м, притягиваются взаимно с силой, равной .

Закон всемирного тяготения. Примеры силы тяготения в повседневной жизни и в космосе

Закон всемирного тяготения математическое выражение формулировка. Аристотель утверждал, что массивные предметы падают на землю быстрее лёгких

При изучении школьного курса физики важной темой раздела механики является Закон всемирного тяготения. В данной статье подробнее рассмотрим, что он собой представляет, и с помощью какой математической формулы описывается, а также приведем примеры силы тяготения в повседневной жизни человека и космических масштабах.

Кто открыл Закон всемирного тяготения

Прежде чем приводить примеры силы всемирного тяготения, расскажем кратко, кому приписывают ее открытие.

С давних времен люди наблюдали за звездами и планетами и знали, что они движутся по определенным траекториям.

Кроме того, любой человек, не обладающий специальными знаниями, понимал, что как бы далеко и высоко он не бросал камень или другой предмет, тот всегда падал на землю.

Но ни один из людей даже не догадывался, что процессами на Земле и небесными телами управляет один и тот же природный закон.

В 1687 году сэр Исаак Ньютон опубликовал научный труд, в котором впервые изложил математическую формулировку Закона всемирного тяготения. Конечно же, Ньютон не самостоятельно пришел к этой формулировке, что признавал лично.

Он использовал некоторые идеи своих современников (например, существование обратной пропорциональности от квадрата расстояния силы притяжения между телами), а также накопленный экспериментальный опыт о траекториях движения планет (три закона Кеплера).

Гений Ньютона проявил себя в том, что проанализировав весь имеющийся опыт, ученый смог его оформить в виде стройной и практически пригодной теории.

Кратко сформулировать Закон всемирного тяготения можно так: между всеми телами во Вселенной существует сила притяжения, которая обратно пропорциональна квадрату дистанции между их центрами масс и прямо пропорциональна произведению самих масс тел. Для двух тел с массами m1 и m2, которые друг от друга находятся на расстоянии r, изучаемый закон запишется в виде:

F = G*m1*m2/r2.

Здесь величина G – это постоянная гравитации.

Силу притяжения можно рассчитывать по этой формуле во всех случаях, если расстояния между телами достаточно велики по сравнению с их размерами.

В противном случае, а также в условиях сильной гравитации вблизи массивных космических объектов (нейтронных звезд, черных дыр) следует использовать разработанную Эйнштейном теорию относительности. Последняя рассматривает гравитацию как результат искажения пространства-времени.

В классическом же законе Ньютона гравитация – это результат взаимодействия тел с некоторым энергетическим полем, подобно электрическому или магнитному полям.

Проявление силы тяготения: примеры из повседневной жизни

Во-первых, в качестве таких примеров можно назвать любые падения тел с некоторой высоты. Например, листа или знаменитого яблока с дерева, падение камня, капель дождя, явления горных обвалов и оползней. Во всех этих случаях тела стремятся к центру нашей планеты.

Во-вторых, когда учитель просит учащихся: “Приведите примеры силы тяготения”, то им также следует вспомнить о существовании у всех тел веса. Когда телефон лежит на столе или когда человек взвешивается на весах, в этих случаях тело давит на опору. Вес тела – это яркий пример проявления силы тяготения, который совместно с реакцией опоры образует пару уравновешивающих друг друга сил.

Если формулу из предыдущего пункта использовать для земных условий (подставить в нее массу планеты и ее радиус), то можно получить следующее выражение:

F = m*g

Именно его используют при решении задач с силой тяжести. Здесь g – это ускорение, сообщаемое всем телам независимо от их массы при свободном падении. Если бы не существовало сопротивления воздуха, то тяжелый камень и легкое перышко падали бы за одно и то же время с одинаковой высоты.

Тяготение во Вселенной

Каждый знает, что Земля вместе с другими планетами вращается вокруг Солнца. В свою очередь, Солнце, находясь в одном из рукавов спиральной галактики Млечный путь, вращается вместе с сотнями миллионов звезд вокруг ее центра.

Сами галактики также приближаются друг к другу в так называемых местных скоплениях. Если вернуться назад в масштабах, то следует вспомнить спутники, которые вращаются вокруг своих планет, астероиды, которые на эти планеты падают или пролетают рядом.

Все перечисленные случаи можно вспомнить, если учитель просит школьников: “Приведите примеры силы тяготения”.

Отметим, что в последние десятилетия вопрос главной силы в космическом масштабе поставлен под сомнение. В локальном космосе ею без сомнения является сила гравитации. Однако, рассматривая вопрос на уровне галактики, в игру вступает иная, пока еще неизвестная сила, связанная с темной материей. Последняя проявляет себя в виде антигравитации.

Закон всемирного тяготения можно записать в виде. Аристотель утверждал, что массивные предметы падают на землю быстрее лёгких

Закон всемирного тяготения математическое выражение формулировка. Аристотель утверждал, что массивные предметы падают на землю быстрее лёгких

Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона всемирного тяготения. Согласно этому закону сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

Здесь – коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной.

Направлена сила вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки (рис. 45.1).

В векторном виде силу, с которой вторая материальная точка притягивает к себе первую, можно записать следующим образом:

Симолом обозначен единичный вектор, имеющий направление от первой материальной точки ко второй (см. рис. 45.1). Заменив в формуле (45.2) вектор вектором получим силу действующую на вторую материальную точку.

[attention type=yellow]
Для определения силы взаимодействия протяженных тел их нужно разбить на элементарные массы каждую из которых можно было бы принять за материальную точку (рис. 45.2). Согласно (45.2) i-я элементарная масса тела 1 притягивается к элементарной массе тела 2 с силой
[/attention]

где расстояние между элементарными массами.

Просуммировав (45.3) по всем значениям индекса k, получим силу, действующую со стороны тела 2 на принадлежащую телу 1 элементарную массу :

Наконец, просуммировав (45.4) по всем значениям индекса i, т. е. сложив силы, приложенные ко всем элементарным массам первого тела, получим силу, с которой тело 2 действует на тело 1:

Суммирование производится по всем значениям индексов i и k. Следовательно, если тело 1 разбить на а тело 2 – на элементарных масс, то сумма (45.5) будет содержать слагаемых.

Практически суммирование (45.5) сводится к интегрированию и является, вообще говоря, очень сложной математической задачей. Если взаимодействующие тела однородны и имеют правильную форму, вычисления сильно упрощаются.

В частности, в случае, когда взаимодействующие тела представляют собой однородные шары, вычисление согласно (45.5) приводит к формуле (45.2), в которой под следует понимать массы шаров, под – расстояние между их центрами и под единичный вектор, имеющий направление от центра первого шара к центру второго.

Таким образом, шары взаимодействуют как материальные точки, имеющие массы, равные массам шаров, и помещенные в их центрах.

Если одно из тел представляет собой однородный шар очень большого радиуса (например земной шар), а второе тело можно рассматривать как материальную точку, то их взаимодействие описывается формулой (45.2), в которой под нужно понимать расстояние от центра шара до материальной точки (это утверждение будет доказано в следующем параграфе).

Размерность гравитационной постоянной в соответствии с (45.1) равна

[attention type=red]
Численное значение у было определено путем измерения силы, с которой притягиваются друг к другу тела известной массы.
[/attention]

При таких измерениях возникают большие трудности, так как для тел, массы которых могут быть непосредственно измерены, сила притяжения оказывается крайне малой.

Так, например, два тела с массой 100 кг каждое, находящиеся на расстоянии 1 м друг от друга, взаимодействуют с силой порядка , т. е. порядка

Первой успешной попыткой определения V были измерения, осуществленные Кавендишем (1798 г.). Он применил для измерения сил весьма чувствительный метод крутильных весов (рис. 45.3).

Два свинцовых шара (с массой 0,729 кг каждый), прикрепленных к концам легкого коромысла, помещались вблизи симметрично расположенных шаров М (с массой по 158 кг). Коромысло подвешивалось на упругой нити, по закручиванию которой можно было измерять силу притяжения шаров друг к другу.

Верхний конец нити был закреплен в установочной головке, поворотом которой можно было менять расстояние между шарами и М. Наиболее точным из определенных разными способами считается значение

Если в (45.1) подставить , равные единице, то сила оказывается численно равной . Таким образом, два шара с массой 1 кг каждый, центры которых отстоят друг от друга на 1 м, притягиваются взаимно с силой, равной .

Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела. Невесомость

План ответа

1. Силы гравитации. 2. Закон всемирного тяготения. 3. Физический смысл гравитационной по­стоянной. 4. Сила тяжести. 5. Вес тела, перегрузки. 6. Невесомость.

Исаак Ньютон выдвинул предположение, что между любыми телами в природе существуют силы взаимного притяжения. Эти силы называютсилами гравитации, илисилами всемирного тяготения. Сила всемирного тяготения проявляется в Космосе, Солнечной системе и на Земле.

Ньютон обобщил за­коны движения небесных тел и выяснил, что F = G(m 1 *m 2)/R 2, где G – коэффициент пропорциональности, называется гравитационной постоянной.

Чис­ленное значение гравитационной постоянной опытным путем определил Кавендиш, измеряя силу вза­имодействия между свинцовыми шарами.

[attention type=green]
В резуль­тате закон всемирного тяготения звучит так:между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки.
[/attention]

Физический смысл гравитационной постоян­ной вытекает из закона всемирного тяготения. Если m 1 = m 2 = 1 кг, R = 1 м, то G = F, т. е. гравитацион­ная постоянная равна силе, с которой притягиваются два тела по 1 кг на расстоянии 1 м. Численное зна­чение: G = 6,67 10 -11 Н м 2 /кг 2 .

Силы всемирного тя­готения действуют между любыми телами в природе, но ощутимыми они становятся при больших массах (или хотя бы масса одного из тел велика).

Закон же всемирного тяготения выполняется только для мате­риальных точек и шаров (в этом случае за расстоя­ние принимается расстояние между центрами ша­ров).

Частным видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле (или к другой планете). Эту силу называютсилой тяжести. Под действием этой силы все тела приобретают ускорение свободного падения. В соответствии со вторым зако­ном Ньютона g = f т /m,следовательно, f т= mg. Сила тяжести всегда направлена к центру Земли. В зави­симости от высоты h над поверхностью Земли и гео­графической широты положения тела ускорение сво­бодного падения приобретает различные значения. На поверхности Земли и в средних широтах ускоре­ние свободного падения равно 9,831 м/с 2 .

В технике и быту широко используется поня­тие веса тела.Весом тела называют силу, с которой тело давит на опору или подвес в результате грави­тационного притяжения к планете (рис. 5). Вес тела обозначается Р.

Единица измерения веса – 1 Н. Так как вес равен силе, с которой тело действует на опо­ру, то в соответствии с третьим законом Ньютона по величине вес тела равен силе реакции опоры.

Поэтому, чтобы найти вес тела, необходимо найти, чему равна сила реакции опоры.

Рассмотрим случай, когда тело вместе с опорой не движется. В этом случае сила реакции опоры, а следова­тельно, и вес тела равен силе тяжести (рис. 6):р =N = mg.

В случае движения тела вертикально вверх вместе с опорой с ускорением, по второму закону Ньютона, можно записать mg + N = та (рис. 7, а).

В проекции на ось OX: -mg + N = та, отсюда N = m(g + а).

[attention type=yellow]
Следовательно, при движении вертикально вверх с ускорением вес тела увеличивается и нахо­дится по формуле Р = m(g + а).
[/attention]

Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры или подвеса, называютперегруз­кой. Действие перегрузки испытывают на себе кос­монавты как при взлете космической ракеты, так и при торможении корабля при входе в плотные слои атмосферы. Испытывают перегрузки и летчики при выполнении фигур высшего пилотажа, и водители автомобилей при резком торможении.

Если тело движется Вниз по вертикали, то с помощью аналогичных рассуждений получаем mg +

+N = та; mg -N = та; N = m(g -а); Р = m(g – а), т. е. вес при движении по вертикали с ускорением будет меньше силы тяжести.

Если тело свободно падает, в этом случае Р = (g – g)m = 0.

Состояние тела, в котором его вес равен нулю, называютневесомостью. Состояние невесомости на­блюдается в самолете или космическом корабле при движении с ускорением свободного падения незави­симо от направления и значения скорости их движе­ния.

За пределами земной атмосферы при выключе­нии реактивных двигателей на космический корабль действует только сила всемирного тяготения.

Под действием этой силы космический корабль и все те­ла, находящиеся в нем, движутся с одинаковым ускорением, поэтому в корабле наблюдается состоя­ние невесомости.

Электрон движения в вакууме со скоростью 3 ×10 6 м/с в однородном магнитном поле с магнитной индукцией 0,1 Тл. Чему равна сила, действующая на электрон, если угол между направлением скорости электрона и линиями индукции равен 90°?

Ньютон предположил, что Луну следует рассматривать как снаряд, который движется по искривленной траектории, поскольку на него действует земное тяготение. Поверхность Земли тоже искривлена, так что при достаточно быстром движении снаряда его искривленная траектория будет следовать за кривизной Земли, и он станет «падать» вокруг планеты. Если увеличить скорость снаряда, его траектория вокруг Земли вытянется в эллипс.

Галилей в начале XVII века показал, что все предметы падают «одинаково». И примерно в то же время Кеплер задумывался, что заставляет планеты двигаться по своим орбитам. Быть может, это магнетизм? Исаак Ньютон, работая над « », свел все эти движения к действию единой силы, называемой гравитацией, которая подчиняется простым универсальным законам.

Галилей экспериментально показал, что путь, пройденный телом, падающим под действием гравитации, пропорционален квадрату времени падения: шар, падающий в течение двух секунд, пройдет вчетверо больший путь, чем такой же предмет в течение одной секунды.

Также Галилей показал, что скорость прямо пропорциональна времени падения, и вывел отсюда, что пушечное ядро летит по параболической траектории — одному из видов конических сечений, как и эллипсы, по которым, согласно Кеплеру, движутся планеты.

Но откуда эта связь?

Когда в середине 1660-х годов Кембриджский университет закрылся на время Великой эпидемии чумы, Ньютон вернулся в семейную усадьбу и там сформулировал свой закон тяготения, хотя и держал его потом в тайне еще 20 лет. (Историю об упавшем яблоке никто не слыхал, пока восьмидесятилетний Ньютон не рассказал эту байку после большого званого ужина.)

Он предположил, что все предметы во Вселенной порождают гравитационную силу, притягивающую другие объекты (подобно тому, как яблоко притягивается к Земле), и эта самая сила гравитации определяет траектории, по которым движутся в космосе звезды, планеты и другие небесные тела.

На склоне своих дней Исаак Ньютон рассказал, как это произошло: он гулял по яблоневому саду в поместье своих родителей и вдруг увидел луну в дневном небе. И тут же на его глазах с ветки оторвалось и упало на землю яблоко. Поскольку Ньютон в это самое время работал над законами движения, он уже знал, что яблоко упало под воздействием гравитационного поля Земли.

Знал он и о том, что Луна не просто висит в небе, а вращается по орбите вокруг Земли, и, следовательно, на нее воздействует какая-то сила, которая удерживает ее от того, чтобы сорваться с орбиты и улететь по прямой прочь, в открытый космос. Тут ему и пришло в голову, что, возможно, это одна и та же сила заставляет и яблоко падать на землю, и Луну оставаться на околоземной орбите.

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.